PAGINA DEI CONTENUTI

INTEGRALI DOPPI

  1. Premesse

  2. Campo d’integrazione
    2.1. Frontiera del campo d’integrazione
    2.2. Proprietà fondamentali degli integrali doppi
    2.3. Campi d’integrazione normali
    2.4. Partizione del campo d’integrazione
    2.5. Teorema dell’additività della misura

  3. Calcolo degli integrali doppi
    3.1. Scrittura dell’integrale doppio
    3.2. Formula di riduzione
    3.3. Formula d’inversione
    3.4. Ridefinizione degli estremi d’integrazione
    3.5. Formula di trasformazione per cambio delle variabili
    3.6. Formula di trasformazione per coordinate polari

  4. Esercizi sui campi d’integrazione e sulla formula d’inversione

  5. Esercizi d’integrazione in coordinate ortogonali

  6. Esercizi d’integrazione in coordinate polari

  7. Integrale di Poisson

  8. Formula di trasformazione per cambio delle variabili
    8.1. Dimostrazione e determinante Jacobiano
    8.2. Due applicazioni lineari

INTEGRALI CURVILINEI 2

  1. Strofoide

  2. Elica cilindrica

  3. Cicloide

  4. Ipocicloide

  5. Asteroide

  6. Epiciloide

  7. Cardioide

INTEGRALI CURVILINEI 1

  1. Definizioni

  2. Esercizi partendo dal campo vettoriale

  3. Esercizi partendo dall'integrale

  4. Esercizi sul cammino d'integrazione

  5. Calcolo di aree piane

  6. Calcolo di lunghezze

TRASFORMAZIONI LINEARI

  1. Introduzione all’argomento

  2. Trasformazioni lineari
    2.1. Operazioni con le trasformazioni lineari
    2.2. Trasformazioni composte
    2.3. Tipi di trasformazioni lineari
        2.3.1. Omomorfismo
        2.3.2.  Isomorfismo
        2.3.3.  Endomorfismo
        2.3.4.  Isometria

  3. Matrici di trasformazione
    3.1.  Matrici di trasformazione quadrate
    3.2.  Matrici di trasformazione come operatori lineari
    3.3.  Matrici di trasformazione rettangolari

  4. Trasformazioni e matrici di trasformazione inverse
    4.1.  Trasformazione inversa
    4.2.  Matrice inversa
    4.3.  Regola di Cramer
    4.4.  Trasformazioni non invertibili
    4.5.  Nucleo di una trasformazione lineare
    4.6   Teorema della Nullità più Rango

  5. Trasformazioni lineari con cambio di base
    5.1.  Spazi euclidei, basi e sistema di riferimento
    5.2.  Cambio di base generico
          5.2.1.  Matrice del cambio di base
          5.2.2.  Matrice di trasformazione con cambio di base

  6. Trasformazioni isometriche
    6.1.  Traslazioni. Teorema di Chasles
    6.2.  Matrici ortogonali
    6.3.  Rotazioni
    6.4.  Riflessioni. Teorema di Cartan-Dieudonné

  7. Matrici di trasformazione diagonali
    7.1.  Teorema delle matrici di trasformazione diagonali
    7.2.  Equazione caratteristica
    7.3.  Matrici diagonalizzabili
    7.4.  Matrici non diagonalizzabili
    7.5   Teorema Spettrale reale

  8. Conclusioni
    9.1.  Tre risposte
    9.2.  Modello di software per grafica vettoriale

LA FORMULA DI TAYLOR

  1. Valori di una funzione          
    1.1  Approssimazione lineare
    1.2  Approssimazione con polinomi

  2. Verso la formula di Taylor       
    2.1   Il polinomio di Taylor
    2.2   Polinomi di Taylor notevoli

  3.  La formula di Taylor           
    3.1  Prima dimostrazione della formula di Taylor
    3.2  Formula di MacLaurin

  4.  Il resto
    4.1  Resto di Peano
    4.2  Ordine degli infinitesimi
    4.3  Algebra di o piccolo
    4.4  Seconda dimostrazione della formula di Taylor
    4.5  Resto integrale
    4.6  Terza dimostrazione della formula di Taylor
    4.7  Resto di Schloemilch
    4.8  Resto di Cauchy
    4.9  Resto di Lagrange
    4.10  Quarta dimostrazione della formula di Taylor

  5. Stima dell’errore 

  6. Serie di funzioni: serie di Taylor e Maclaurin                   

  7. Appendice

LD. - LI.

  1. Spazio lineare e spazio vettoriale

  2. Vettori, punti o ennuple ?

  3. Prodotto di un vettore per uno scalare

  4. Generazione di uno spazio vettoriale

  5. Dipendenza e indipendenza vettoriale

  6. Basi

  7. Matrici di vettori

  8. Dipendenza e indipendenza lineare con i determinanti

  9. Trasformazioni lineari e matrici associate

  10. Teorema del rango

  11. Il teorema del rango applicato alle matrici

  12. Esercizi svolti

SERIE ARMONICA

  1. Serie armonica

  2. Dimostrazioni di divergenza

  3. Serie armonica alternata

  4. Serie armonica generalizzata

  5. Serie armonica prima

  6. Serie armonica radicale

  7. Serie armonica fattoriale

  8. Serie armonica esponenziale

  9. Appendice

CRITERI DI CONVERGENZA

1   Principali criteri di convergenza
  1.1   Criteri generali
    1.1.1   Criterio necessario e sufficiente di convergenza
    1.1.2   Criterio necessario di convergenza
    1.1.3   Criterio della combinazione lineare
    1.1.4   Criterio del resto
    1.1.5   Criterio della proprietà associativa
    1.1.6   Criterio della somma e della differenza
  1.2   Criteri per le serie a termini di segno costante
    1.2.1   Criterio di non indeterminatezza
    1.2.2   Criterio del confronto
    1.2.3   Criterio integrale
    1.2.4  Criterio di D’Alembert
  1.3   Criteri di convergenza assoluta
    1.3.1   Criterio del confronto
    1.3.2   Criterio di Cauchy o della radice
    1.3.3   Criterio del rapporto
    1.3.4   Criterio di Raabe
    1.3.5   Criterio dell’infinitesimo
    1.3.6   Criterio del riordino dei termini
    1.3.7   Criterio del prodotto
  1.4   Criteri di convergenza per le serie alternate
    1.4.1   Criterio di Leibniz
2   Nozioni elementari
  2.1   Successione
  2.2   Serie
  2.3   Somme parziali, resti
  2.4   Successione e insieme di somme
  2.5   Combinazione lineare e prodotto di serie
  2.6   Somma della serie
  2.7   Riordinamento dei termini
  2.8   Riordinamento di Riemann
  2.9   Carattere della serie
3   La serie armonica
  3.1   Serie armonica
  3.2   Serie armonica alternata
  3.3   Serie armonica generalizzata e serie di Dirichlet
4   Altre serie interessanti
  4.1   Serie naturale
  4.2   Serie di Mengoli
  4.3   Serie fattoriali
  4.4   Serie geometrica

5   Appendice

NUMERI ARMONICI

  1. Primi 1000 numeri armonici

  2. Primi 1000 numeri armonici alternati

  3. Numero armonico di ordine 104

  4. Numero armonico alternato di ordine 106

EQUAZIONI DIFFERENZIALI 6

  1. Integrale generale di equazioni lineari non omogene

  2. Metodo di Lagrange

  3. Esercizi col metodo di Lagrange

  4. Metodo di Cauchy

  5. Equazioni non omogenee a coefficienti costanti col metodo di Cauchy

  6. Dimostrazioni del metodo di Cauchy

EQUAZIONI DIFFERENZIALI 5

  1. Elementi di teoria sulle equazioni lineari di ordine n

    1. Equazioni lineari di ordine n

    2. Equazioni lineari omogenee di ordine n

    3. Equazioni ridotte corrispondenti

    4. Equazioni a coefficienti variabili e a coefficienti costanti

    5. Teorema di esistenza ed unicità

    6. Spazi lineari, trasformazioni lineari, equazioni lineari

    7. Teorema fondamentale sulle equazioni lineari omogenee

    8. Equazioni del primo ordine corrispondenti

    9. Teorema sul determinante di Wronsky

    10. Teorema sulla matrice di Wronsky

    11. Teorema sulle equazioni omogenee del secondo ordine

  2. Esercizi sulle equazioni omogenee del secondo ordine a coefficienti costanti

    1. Equazione caratteristica di un’equazione omogenea a coefficienti costanti

    2. Esercizi con soluzioni reali e distinte dell’equazione caratteristica

    3. Esercizi con soluzioni reali e coincidenti dell’equazione caratteristica

EQUAZIONI DIFFERENZIALI 4

  1. Equazioni non lineari

    1. Impostazione del problema

    2. Soluzioni singolari ed inviluppi rettilinei

    3. Luoghi geometrici di punti singolari

    4. Inviluppi curvilinei

  2. Equazioni di Clairaut

  3. Equazioni di Lagrange (o D’Alembert-Lagrange)

EQUAZIONI DIFFERENZIALI 3

  1. Premesse

  2. Equazioni a differenziali totali

  3. Fattore integrante

    1. Fattore integrante dipendente da x e da y

    2. Fattore integrante dipendente solo da x o solo da y

  4. Dimostrazioni

EQUAZIONI DIFFERENZIALI 2

  1. Equazioni lineari

  2. Equazione di Bernouilli

EQUAZIONI DIFFERENZIALI 1

  1. Premessa

  2. Equazioni a variabili separate

  3. Equazioni omogenee risolvibili con sostituzione

  4. Equazioni lineari

MATRICI DI HADAMART

  1. Definizione

  2. Proprietà

  3. Prodotto di Kronecker

  4. Costruzione di Sylvester

  5. Equivalenza

  6. Ordine e congettura di Hadamard

  7. Determinante

  8. Diagonali

  9. Costruzione di Paley

  10. Costruzione di Williamson

  11. Costruzione con matrici binarie

  12. Codici sequenziali

DETERMINANTI

  1. Matrici quadrate col secondo teorema di Laplace

  2. Matrici quadrate di ordine 3 con la regola di Sarrus

  3. Matrice di Vandermonde

  4. Matrici quadrate triangolari o diagonali

  5. Matrici quadrate a blocchi

ALGEBRA DELLE CLASSI DI RESTO 2

  1. Elementi di teoria dei gruppi

    1. Laterali

    2. Gruppo quoziente

    3. Omomorfismi di gruppi

      1. 1.3.1 Definizione di omomorfismo

      2. 1.3.2 Tipi di omomorfismo

      3. 1.3.3 Omomorfismo di G su G / H

  2. Elementi di teoria degli anelli

    1. Ideali e anello quoziente

    2. Omomorfismi di anelli

    3. Altre definizioni utili

  3. Le quattro operazioni con le classi di resto

    1. Addizione

    2. Opposti ed inversi

    3. Sottrazione

    4. Moltiplicazione ed elevazione a potenza

    5. Divisione

  4. 4 Esercizi di calcolo con le quattro operazioni

ALGEBRA DELLE CLASSI DI RESTO 1

  1. Premesse                                                                   

    1. Relazione

    2. Relazione di equivalenza

    3. Relazione di uguaglianza

    4. Classe di equivalenza

    5. Partizione

    6. Combinazione lineare

    7. Identità di Bezout

    8. Algoritmo di Euclide e MCD

    9. Equazione diofantea

  2. Classi di resto                                                                    

    1. Relazione di congruenza modulo n

    2. Proprietà delle relazioni di congruenza

    3. Classe di resto

    4. Anello delle classi di resto

    5. Dominio d’integrità delle classi di resto

    6. Campo delle classi di resto ed inversi

    7.  Calcolo degli inversi nell’anello delle classi di resto

      1. Teorema di Lagrange

      2. Corollario del Teorema di Lagrange

      3. Teorema di Eulero

      4.  Piccolo Teorema di Fermat

    8. Calcolo degli inversi nel campo delle classi di resto

    9. Inversi banali

  3. Congruenze lineari                                                     

    1. Equazione diofantea

    2. Definizione di congruenza lineare

    3. Compatibilità, soluzioni fondamentali e classi di congruenza

    4. Forma delle soluzioni

    5. Soluzioni non congruenti e congruenti; calcolo

    6. iduzione del modulo

  4. Sistemi di congruenze lineari                                  

    1. Teorema cinese del resto 

      1. Compatibilità

      2. Soluzioni       

    2. Sistemi di congruenze lineari ad una incognita

SUCCESSIONE DI FIBONACCI

  1. Successione di Fibonacci

  2. Radici quinte dell’unità e numero Φ             

  3. Polinomi di Fibonacci                              

  4. Numeri titanici                                         

LIMITI CON LA FORMULA DI TAYLOR

  1. Algebra di o piccolo

  2. Esercizi

  3. Sviluppi di funzioni notevoli

LIMITI COL TEOREMA DI L'HOPITAL

  1. Forme indeterminate di diverso tipo

  2. Altri limiti

LIMITI DI SUCCESSIONI

  1. Generalità

  2. Successioni polinomiali

  3. Successioni irrazionali

  4. Successioni fattoriali

  5. Successioni esponenziali

  6. Successioni logaritmiche

  7. Successioni trigonometriche

  8. Successioni irregolari

IL DIFFERENZIALE

  1. Un po' di teoria

    1. Cos'è il differenziale

    2. Definizione di differenziale

    3. Operazioni sui differenziali

  2. Quattro applicazioni geometriche

  3. Alcuni esercizi

POTENZE E RADICI IN C

  1. Premesse                                          

    1. Sulla rappresentazione

    2. Sulla formula di Eulero

    3. Sulle identità fondamentali

    4. Sul prodotto

  2. Rotazioni nel piano Argand-Gauss            

    1. Applicazioni

    2. Equazione della circonferenza

  3. Sviluppo delle potenze complesse      

    1. Base reale

      1. Esponente complesso

      2. Esponente immaginario puro

    2. Base complessa

      1. Esponente intero

      2. Esponente complesso

      3. Esponente immaginario puro

    3. Base immaginaria

      1. Esponente intero

      2. Esponente complesso

      3. Esponente immaginario puro

    4. Logaritmo di un numero complesso

  4. Radici complesse                             

    1. Radici ennesime

    2. Radici ennesime dell’unità

      1. Unità reale

      2. Unità immaginaria

  5. Equazione ciclotomica                   

    1. Teorema fondamentale dell’algebra

    2. Gruppi ciclici

    3. Radici primitive dell’unità

    4. Polinomi ciclotomici

    5. Equazione ciclotomica

LA PERPENDICOLARITA'

  1. Equazione implicita della retta

  2. Discussione sui vettori applicati

  3. Normalità di due rette nel piano

  4. La simmetria

  5. E adesso il parallelismo

  6. Alcune applicazioni

    1. Urbanistica

    2. Tecnologia

    3. Arte

LA RETTA

  1. La retta come insieme continuo

  2. Discussione sugli spazi vettoriali

  3. Equazioni parametriche

  4. Equazione implicita

  5. Aspetti geometrici delle equazioni della retta

  6. Due rette nel piano